[0034] 下面结合附图对本发明作进一步说明。
[0035] 如图1所示，传统的Play算子(简称Play算子)为：
[0036] h(t)＝max{u(t)‑r,min{u(t)+r,h(t‑T)}}
[0037] 其中，h(t)为算子在t时刻的输出信号，u(t)为算子在t时刻的输入信号，r为阈值，T为相邻时刻点输入的时间间隔，h(t‑T)为t‑T时刻的输出信号，max为求最大值，min为求最小值。
[0038] 传统的PI模型(简称CPI模型)为：
[0039]
[0040] 其中，Play算子的初始输出信号h0＝0，即CPI模型初始输出信号H(0)＝0，H(t)为CPI模型在t时刻的输出信号，p0为线性系数，pi为第i个算子的权重系数，ri为第i个算子的阈值，n为算子的总个数，hi(t‑T)为第i个算子在t‑T时刻的输出信号。
[0041] 本发明基于JPI模型的压电陶瓷驱动器迟滞建模方法，具体如下：
[0042] 将CPI模型改进为JPI模型：
[0043] h(t)＝max{u(t)‑r,min{u(t)+ηr,h(t‑T)}}
[0044] 其中，h(t)为算子在t时刻的输出信号，u(t)为算子在t时刻的输入信号(针对压电陶瓷驱动器，输入信号即是电压)，r为算子的阈值，T为相邻时刻点输入电压的时间间隔，η为算子的阈值修正系数，max为求最大值，min为求最小值。
[0045]
[0046] 其中，各算子的初始输出信号hi(0)＝0，JPI模型的初始输出信号Y(0)＝0，Y(t)为JPI模型在t时刻的输出信号，y(t)为中间变量，p0是线性系数，pi为第i个算子的权重系数，ri为第i个算子的阈值，ηi为第i个算子的阈值修正系数，c1,c3,…cm为多项式的各个系数，m为多项式的阶数，n是算子的总个数，hi(t‑T)为第i个算子在t‑T时刻的输出信号。其中，ri是预先设定的，p0、pi、ηi、c1,c3,…,cm可以通过参数辨识得到。
[0047] 相比传统的PI模型，JPI模型引入参数η和非线性多项式c1y(t)+c3y3(t)+…+cmym3 m
(t)，提高整个模型在零点处的精度；而非线性多项式c1y(t)+c3y (t)+…+cmy (t)的引入弥补了传统PI模型只能表征对称迟滞曲线的缺陷。从图2可以看到，与PMPI模型(申请号为
201910871085.3的专利申请公开的模型)不同的是，本发明将灵活性与非对称性串联。这种串联方式使得记忆函数部分(即灵活性部分)也可以用于描述迟滞曲线的非对称性。PMPI模型仅引入输入信号的多项式来改变迟滞曲线的整体弯曲程度(即整体非对称性)。而本发明将算子的叠加形式与输入信号同时引入多项式公式，用于描述迟滞曲线的非对称性，不仅可以改变迟滞曲线的整体弯曲程度，而且可以修正PMPI模型的局部非对称性描述不足的问题。
[0048] 如图3所示，本发明基于JPI模型的压电陶瓷驱动器前馈控制方法，具体如下：
[0049] 由于奇次多项式的存在，导致了JPI模型不能像CPI模型一样采用解析逆的形式，其逆模型需要先通过迭代的方式求解，因此设计压电陶瓷驱动器的前馈控制器表达式为：
[0050]
[0051] 其中，Yd(t)为压电陶瓷驱动器的期望输出位移，ud(t)为t时刻根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的输入电压，yd(t)为t时刻将ud(t)代入公式(1)得到的y(t)值；当输入电压的时间间隔T非常小时，可以认为ud(t)与ud(t‑T)基本相等，于是可以将yd(t‑T)看成是yd(t)，并设置ud(0)＝0，进而可以得到t时刻与t‑T时刻输入电压的迭代表达式：
[0052]
[0053] 其中，ud(t‑T)为t‑T时刻根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的输入电压，yd(t‑T)为t‑T时刻将ud(t‑T)代入公式(1)得到的y(t‑T)值；
[0054] 解析逆模型为ud(t)＝H‑1[yd](t)，计算公式如下：
[0055]
[0056] 其中，H‑1[yd](t)为解析逆模型的函数符号表达，Ui(t)为中间变量，中间变量Ui(0)＝0， 为解析逆模型的线性系数， 为解析逆模型中第i个算子的权重系数，为解析逆模型中第i个算子的阈值。
[0057] 把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用公式(2)的迭代关系式进行迭代，直到迭代次数等于采样点数，求得压电陶瓷驱动器在各个时刻的输入电压，然后将各个时刻的输入电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移yr(t)。
[0058] 下面给出JPI模型、CPI模型以及PMPI模型的一组具体参数数值如下：如图5所示，输入信号的驱动时间为3秒，采样点取了3000个，每个采样点对应了一个t时刻。通过差分进化算法辨识得到CPI模型的线性系数p0和权重系数pi，PMPI模型的a1、a2、线性系数p0以及第i个算子的阈值修正系数ηi和权重系数pi，以及JPI模型的线性系数p0、多项式系数ci、第i个算子的阈值修正系数ηi和权重系数pi。
[0059] CPI模型所需参数的参数值除p0＝0.0404，其余如表1所示：
[0060] 表1
[0061]
[0062] PMPI模型所需参数的参数值除p0＝0.187839，其余如表2所示：
[0063] 表2
[0064]
[0065] JPI模型所需参数的参数值除p0＝0.000031，其余如表3所示：
[0066] 表3
[0067]
[0068] 如图4所示，实验数据为给定的一组电压数据与其对应的压电陶瓷驱动器实际输出位移数据的关系曲线；由图3、4可知，在同一组实验数据的情况下，基于上述给定的具体参数值的JPI模型相比于基于上述给定的具体参数值的PMPI模型与基于上述给定的具体参数值的CPI模型相比，得到的输出位移更接近于实际的输出位移。尤其是在迟滞曲线的两个尖端更加明显。这是因为，JPI模型的奇次多项式是采用串联的形式对y(t)进行非对称性的修正，使得局部非对称性也能通过这样的串联形式进行修正。相比而言，CPI模型不能描述非对称性，PMPI模型无法描述局部非对称性。因此JPI模型相对于这两者而言，在描述压电陶瓷驱动器的迟滞非对称现象时，存在明显的优势。
[0069] 除此之外，分别用最大绝对偏差、最大相对偏差以及均方根误差对三种模型进行评价，如表4所示：
[0070] 表4
[0071]
[0072] 其中，最大绝对偏差：MAE＝max(abs(e))；最大相对偏差：MRE＝MAE/max(y)；均方根误差：
[0073] 其中，e是实际输出位移与模型输出位移之间的差值(如图5所示)，采用矩阵形式列出；abs()函数是将对应矩阵的元素进行绝对值化，max()函数是取对应矩阵的元素中的最大值，sum()函数是将对应矩阵中元素相加，length()函数是输出对应矩阵的元素个数。
[0074] 由表4可以发现，本发明中的JPI模型相对于CPI模型与PMPI模型而言，在描述压电陶瓷驱动器的实际输出位移方面，更为准确。
[0075] 由于对于前馈控制器而言，逆模型的精度就决定了整个前馈控制系统的精度。因此，下面给出根据实验数据求解得到的JPI逆模型的一组具体参数数值：如图6、7所示，采样点选取了200个，每一个采样点对应了一个t时刻：设定ud(0)＝0，T＝0.001s，其它参数可以通过正模型的数据通过公式(3)进行换算得到；其它参数除 其余如表5所示。
[0076] 表5
[0077]
[0078] 如图6所示，实验数据为给定的一组位移数据与其对应的压电陶瓷驱动器输入电压的关系曲线；由图7可见，在与实验数据同样的一组位移数据下，基于上述给定具体参数值的JPI逆模型得到的输入电压与实验数据中的输入电压基本吻合，能够很好地根据期望输出位移求解压电陶瓷驱动器所需要的输入电压值。由图7可见，基于本发明JPI逆模型得到的输入电压与实验数据中的输入电压之间的最大误差值不超过0.08V，若将该JPI逆模型得到的输入电压作用于压电陶瓷驱动器，则压电陶瓷驱动器的实际输出位移将与期望输出位移基本吻合，即基于该JPI逆模型的压电陶瓷驱动器前馈控制器能够实现压电陶瓷驱动器实际输出位移与期望输出位移的线性化。
