[0055] 以下参照附图，对发明的技术方案和效果作进一步地详细说明。
[0056] 现有的互质阵列波达方向估计方法通常通过计算和处理虚拟阵列输出信号，以突破物理阵元数对于自由度的限制，实现自由度性能的提升。但是由于虚拟阵列存在“孔洞”，使得所有的阵元不能被充分利用，一种普遍的做法是采用虚拟阵列中的一段均匀阵列进行处理，从而导致了丢弃阵元上信息的缺失。为了充分利用互质阵列接收信号所包含的全部信息，本发明提供了一种基于原子范数的互质阵欠定测向方法，参照图1，本发明的实现步骤如下：
[0057] 步骤一：在接收端使用N+2M‑1个天线阵元架构扩展互质阵列。首先选取一组互质整数M和N；然后构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含2M个阵元间距为Nd的天线阵元，其位置为0，Nd，…，(2M‑1)Nd；第二个子阵列包含N个阵元间距为Md的天线阵元，其位置为0，Md，…，(N‑1)Md；单位间距取接收信号的半波长，即d＝λ/2。然后将两个子阵列的首个天线阵元视作参考阵元，参照图2和图3，将两个子阵的参考阵元重叠以实现子阵列组合，即可获得实际包含N+2M‑1个天线阵元的非均匀扩展互质阵列架构。
[0058] 步骤二：利用扩展互质阵列接收入射信号并建模。假设入射信号为K个波达方向为Tθ＝[θ1,θ2,…,θK]的远场窄带非相干的平面波信号，入射到互质阵列S上，则t时刻阵列的接收信号可建模为：
[0059]
[0060] 其中， 为阵列流型矩阵，s(t)＝[s1(t),s2T T
(t),...,sK(t)]为t时刻的接收信号，n(t)＝[n1(t),n2(t),...,nK(t)]为与入射信号独立T
的加性高斯白噪声分量，(·) 为转置操作。a(θk)表示第k个信源的互质阵列导引向量，可表示为：
[0061]
[0062] 其中， 为虚部单位，uk表示实际阵元的位置，且u1＝0。当采样快拍数为T时，互质阵列接收信号的协方差矩阵可表示为：
[0063]
[0064] 其中，(·)H表示共轭转置操作。
[0065] 步骤三：计算虚拟阵列输出信号。将阵列接收信号的协方差矩阵 向量化可以得到：
[0066]
[0067] 其中，pk为第k个入射信号的功率， 为克罗内克积*
(Kronecker product)，(·) 为取共轭操作，vec(·)表示向量化算子，且i＝vec(I)。虚拟阵元的位置可以表示为 其中：
[0068]
[0069] 且 |·|表示集合的势。由于互质阵列是一种部分可扩展阵列，因此其对应的虚拟阵列 是不连续的，即存在一些“孔洞”。通过将信号y中对应于 的相同位置的信号做平均后即可得到虚拟阵列输出信号
[0070]
[0071] 其中， 为虚拟阵列流型矩阵， 表示中心元素为1，其余元素全为0的向量。
[0072] 步骤四：初始化内插输出信号。由于虚拟阵列具有一些“孔洞”，且实际上“孔洞”位置处的输出信号是不存在的。可以通过假设在“孔洞”位置处有虚构阵元，而其对应的输出信号可以通过内插得到。因此，将虚构阵元与虚拟阵元结合起来就可以得到一个阵元位置为 的虚拟均匀线性阵列，其中 首先将虚构阵元处的输出信号初始化为0，则虚拟均匀线性阵列的初始化内插输出信号可以表示为：
[0073]
[0074] 其中，i表示对应于阵元位置为id处的信号。
[0075] 步骤五：设计基于原子范数的优化算法恢复内插输出信号。首先构建表示信号z的原子集 则内插输出信号的原子范数 可以定义为在原子集中能够表示信号z的最小原子数，即：
[0076]
[0077] 其中，inf表示下确界。因此，最优值z*可以通过下面的原子范数最小化问题得到：
[0078]
[0079] 其中，η2表示噪声上限，Ω表示由物理阵元推导的非连续虚拟阵元位置的集合。将上述原子范数 转换为以下半定规划(SDP)形式，就可以使用SDP求解器高效地求解：
[0080]
[0081] 其中，Tr(·)表示矩阵的迹， 表示 作为第一列的Toeplitz矩阵。因此，该原子范数 最小化问题可以通过下式计算：
[0082]
[0083] 其中， t为调节参数。进而基于该原子范数的优化问题可以表示为：
[0084]
[0085] 其中， 通过将其转化为对偶问题，可以利用SDP的标准求解器SDPT3更加高效地求解。根据拉格朗日分析法，上式的对偶问题可以表示为如下形式：
[0086]*
[0087] 其中，η表示正则化参数， 表示取实部操作，||·||2表示l2范数，T (·)表示T(·)的伴随算子。根据对偶性，对应于对偶问题中的第一个约束条件的拉格朗日乘子就是原问题中的第一个约束矩阵，其中包含了内插输出信号z。因此在解决对偶问题后，即可获*得内插输出信号z。
[0088] 步骤六：重建内插后虚拟均匀线性阵列信号协方差矩阵。由于内插虚拟信号是秩为1的信号。因此，该问题等价于相干信号或单快拍信号的DOA估计问题。尽管空间平滑可以去除信号的相干性，但是还有一种更加有效的方法可以重构秩为K的信号协方差矩阵。令重建的信号协方差矩阵 可通过下式得到：
[0089]
[0090] 步骤七：根据重建的内插输出信号协方差矩阵 进行波达方向估计。得到重建的内插输出信号协方差矩阵后，可以通过经典的波达方向估计方法，如多重信号分类(MUSIC)算法及其改进算法、基于旋转不变技术估计信号参数(ESPRIT)算法、加权子空间拟合(WSF)算法等多种方法均求得波达方向估计结果。以多重信号分类方法为例，其空间功率谱PMUSIC可表示为：
[0091]
[0092] 其中，aH(θ)为虚拟接收信号的导引矢量，对应于位置为由0到L的一段虚拟均匀阵列，UN是L×(L‑K)维的噪声子空间；通过谱峰搜索寻找空间谱PMUSIC的峰值即为波达方向估计结果。
[0093] 本发明采用扩展互质阵列进行波达方向角度估计，克服了采用均匀线性阵列造成的自由度受限于物理阵元数的缺点，而且充分利用了虚拟阵列提供的全部信息和自由度，避免了由于虚拟阵列非均匀性造成的信息损失，有效提高了DOA估计的性能。
[0094] 下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步解释。
[0095] 仿真实例1：选取M＝3，N＝5，即采用含有N+2M‑1＝10个物理阵元的扩展互质阵列接收入射信号，阵列孔径为25d；假设有21个不相关的信号源均匀分布在[25.84°，154.15°]的角度范围内。信噪比设置为20dB，采样快拍数为500，且正则化参数设置为1。本发明提出的基于原子范数的互质阵欠定测向方法的空间功率谱如图4所示，图中垂直虚线的位置为入射信源的实际方向。可以看出，本发明所提方法能够有效分辨这21个信源。传统的采用均匀线阵波达方向估计方法，采用10个物理阵元只能分辨9个入射信号，而只采用扩展互质阵列的一段虚拟均匀线性子阵列的自由度为MN+M‑1，即MN+M‑1＝17＜21。以上结果表明了本发明所提方法实现了互质阵列自由度的提高。
[0096] 仿真实例2：采用扩展互质阵列接收入射信号，其参数同样选取M＝3，N＝5，即架构的扩展互质阵列含有N+2M‑1＝10个物理天线阵元；假设12个远场窄带平面波信号的入射方向均匀分布于25°到155°之间，且在每个入射方向上加入随机分布于‑0.1°‑0.1°偏移量，以便更好展现算法的性能。本发明所提的算法与LASSO算法、SS‑MUSIC算法，低秩矩阵降噪(LRD)算法、核范数最小化(NNM)算法和基于虚拟阵元内插(CA‑VAI)算法等一些现存的使用互质阵列的算法进行了对比。LASSO算法、LRD算法、CA‑VAI算法和本发明所提算法中的正则化参数分别为1.5、10、0.25和1，其中LASSO算法的网格密度设置为Δθ＝0.1°。各方法的均方根误差随信噪比和采样快拍数之间的变化如图5、图6，其中图5采用的快拍数为500，图6采用的信噪比为20dB。对于多重信号分类方法的空间谱搜索范围为[0°,180°]，搜索间距为0.01°。与此同时，克拉美罗界也在图5和图6中给出，用于指示估计性能的下界。针对每一组仿真参数的设置，均方根误差均通过1000次蒙特卡洛试验求平均获得。
[0097] 由图5和图6的均方根误差性能对比示意图可以看出，本发明多提算法性能优于其他算法性能，体现了所提算法估计的准确度。
[0098] 以上所述仅为本发名的较佳实施范例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
