双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法   0    0

本发明公开了一种双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，涉及直流电动机优化控制领域，该方法基于提升技术将重复运行的双转子气动系统转换为时间序列的输入输出矩阵模型，选取M个跟踪时间点作为变量，提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架，并基于该框架设计了一种范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降法结合的控制算法来解决这个优化问题。此外，当系统模型存在不确定性时，分析所设计最小能量控制算法的鲁棒性。该方法也可以拓展到输入输出约束系统中，在实现点对点跟踪任务的同时，达到最小输入能量的目的。

1.双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，其特征在于，所述方法包括：
第一步、建立双转子气动系统的动态模型：
所述动态模型采用动力学方程表示，描述了直流电动机输入电压uψ,uθ和系统俯仰角ψ与方位角θ之间的转化关系，建立如式(1)所示的实际物理模型：
其中 ，
Kg＝(mmlm‑mtlt)cos(θ)+2mcωlcωsin(θ)；lm表示主旋翼离原点的距
离，lt表示尾翼离原点的距离，mm表示旋转梁的主体配重，mt表示旋转梁的尾部配重，mcω和lcω分别表示杠杆两端的质量和相应的杠杆长度，Jz和Jx分别表示旋转梁相对于固定z轴与x轴的转动惯量，g表示重力加速度，Kψ表示阻尼系数，Cψ、Cθ分别表示系统俯仰角ψ与方位角θ对应的弹簧参数值；
第二步、构建所述双转子气动系统的离散状态空间方程：
将系统俯仰角、俯仰角的导数、方位角和方位角的导数定义为状态变量：
T
定义输入变量为直流电动机输入电压u＝[uψ uθ] ，输出变量为所述系
T
统俯仰角与方位角y＝[ψ θ] ，f表示光滑非线性函数的向量，则式(1)所示的双转子气动系统描述为：
T
y＝[ψ θ]
对于式(2)所示的非线性的连续系统模型，利用Jacobian线性化方法在平衡点ψ＝ψo＝0[rad]和θ＝θo＝0[rad]处得到线性化模型，再对其进行离散化，选取满足香农采样定理采样周期Ts，得到双转子气动系统的离散状态空间方程如下：
式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点； 和 分别是离散状态
空间系统的第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散系统各个参数矩阵，且满足CB≠0，并且假设系统每个批次的初始状态一致，令xk(0)＝0；
第三步、建立双转子气动系统提升模型：
针对式(3)形式的线性离散系统，将其状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：
yk＝Guk    (4)
其中：
T T T T
uk＝[uk(0) ,uk(1) ,...,uk(N‑1) ]
T T T T
yk＝[yk(1) ,yk(2) ,...,yk(N) ]
是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义
为：
其中，权矩阵R和S为适当维度的实正定矩阵；
第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：
选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为ti,i＝1,...,M，跟踪时间点分布定义为Λ：
T
Λ＝[t1,t2,...,tM]∈Θ    (7)
其中：
p
点对点的参考轨迹r是从完整的参考轨迹r中提取的：
p T T T T
r＝[r(t1) ,r(t2) ,...,r(tM) ]    (9)
点对点的输出信号 和跟踪误差 与式(9)有同样的表达式：
为了将一个信号转换为其点对点形式，引入一个转换矩阵 为M行N列的分块
p
矩阵，使得r＝Ψr， 当第i个采样时刻ti为关键跟踪时间点时，转换矩
阵第i行的所有N个元素除了j＝t时为单位矩阵(l×l)其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：
其中，Ψij为转换矩阵Ψ中的第i行第j列的元素；
基于式(4)，推导出点对点双转子气动系统的提升模型为：
其中，
第五步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：
选择控制能量作为目标代价函数：
最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号uk，相应的输出yk，以及一个跟踪时间点分布Λk，满足：
* p * *
其中，y表示准确地经过点对点的参考轨迹r，同时u，Λ是如下问题的优化解：
通过先优化输入信号u，再优化跟踪时间点分布Λ，将优化问题(16)分为两个优化问题：
*
其中，u (Λ)是优化问题(17)的解析解；由于目标代价函数(14)是凸函数，所以可以保*
证解析解u(Λ)是唯一的全局最优解；
第六步、设计点对点迭代学习最小能量控制算法：
根据第五步中提出的设计框架，只需设计所述跟踪时间点分布Λ的优化方法，即可导出点对点跟踪问题的迭代学习最小能量控制算法；为了满足实际工业问题设计要求，此处考虑了跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下性能指标：
跟踪误差及控制信号批次间变化的内积及相关的诱导范数由式(5)和式(6)导出：
其中权矩阵Q是与S维度不同的实正定矩阵；
针对具有性能指标(19)的ILC问题，采用如下范数优化迭代学习控制律解决：
为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号u0＝0，则：
为了解决优化问题(17)，引入Language乘子λ，构造Language函数：
*
令u(Λ)为Language函数的全局最优解，则：
将 代入式(25)，则：
当且仅当 不等式(26)成立，并且满足跟踪条件 则
有：
由所述范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入u∞就是优化问题(17)的全局最*
优解u(Λ)；
将优化问题(17)的全局最优解表达式(23)代入优化问题(18)，则有：
由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Λ0，所以优化问题(28)通过坐标下降法解决：
其中 表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数 更
新：
其中 是如下优化问题的解：
*
基于式(29)生成的序列{h(Λj)}，向下收敛到极限h；
p
给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ0以及集合Θ，点对点的参考轨迹r ，选定权矩阵Q和R，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：
步骤6.1：初始跟踪时间点分布为Λ0时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收*
敛，即 记录稳态控制输入u (Λ0)以及初始控制能量
步骤6.2：执行坐标下降法(29)，令j→j+1；
步骤6.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λj时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收*
敛，即 记录稳态控制输入u (Λj)以及相应的控制能量
步骤6.4：重复执行步骤6.2和步骤6.3，直到|h(Λj)‑h(Λj‑1)|<δ|h(Λj‑1)|；
*
步骤6.5：记录最优跟踪时间点分布Λ以及相应的最小能量
第七步、分析所述点对点迭代学习最小能量控制算法的鲁棒性：
考虑乘性不确定性对系统的影响，输入输出传递矩阵的实际模型如下：
其中，未知矩阵Δ表示模型不确定性，并且满足条件：
则由范数优化迭代学习控制律(22)生成的误差序列 单调收敛到零，即：
其中，η<1表示 的谱半径；
当误差收敛到零时，跟踪设计目标写成：
其中， 表示控制律作用于实际模型生成的稳态控制输入，通过测量获得，实际模型对应的点对点参考轨迹 也是基于测量数据生成的：
如果G(I+Δ)仍然是满秩，并且 的下界σ非零，则将式(35)写成：
有上界 则将式(36)写成：
结合式(37)和式(38)：
代价函数h(Λ)有上界η，则：
第八步、设计输入输出约束下的点对点迭代学习最小能量控制算法：
以输入输出幅值作为约束条件，形式如下：
其中，t∈[0,N]， 分别表示第i个输入的幅值最小值和幅值最大值，
分别表示第i个输出的幅值最小值和幅值最大值；
当考虑系统约束时，优化问题(16)改写为：
将优化问题(43)分为两个优化问题分别进行求解，与式(17)和式(18)有同样表达式：
其中 是优化问题(44)的解析解；
由于优化问题(44)没有直接的解析解，采用具有连续投影的范数优化迭代学习控制律来解决这个问题；则控制律(22)被替换为：
p
为了防止约束条件下输出轨迹跟踪不上点对点的参考轨迹r ，将优化问题(45)中的代价函数改写为：
其中ρ≥0；结合式(45)和式(47)：
当满足跟踪要求 则有：
将式(49)代入式(48)，显然 并且(1‑ρ)非负，则有：
*
代价函数h(Λ)有上下界：
优化问题(45)同样通过坐标下降法解决：
其中 表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数 更
新：
其中 是如下优化问题的解：
p
给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ0以及集合Θ，点对点的参考轨迹r ，选定权矩阵Q和R，输入输出约束的集合Φ和Ξ，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则输入输出约束的点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：
步骤8.1：初始跟踪时间点分布为Λ0时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律*
(46)直到系统收敛，即 通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u (Λ0)以及相应的初始控制能量 实际的稳态控制输入 以及相应的初始控制能量
步骤8.2：执行坐标下降法(52)，令j→j+1；
步骤8.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λj时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律*
(46)直到系统收敛，即 通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u(Λj)以及相应的控制能量 实际的稳态控制输入 以及相应的控制能量
* * *
步骤8.4：重复执行步骤8.2和步骤8.3，直到|h(Λj)‑h(Λj‑1)|<δ|h(Λj‑1)|；
步骤8.5：记录最优跟踪时间点分布 以及相应的最小能量