[0044] 以下结合附图对本发明作进一步的解释说明；
[0045] 基于事件触发的单连杆机械臂系统实际跟踪的控制方法，该方法包括以下步骤：
[0046] 步骤1、建立系统空间状态模型。
[0047] 根据牛顿定理以及相关的物理学原理，对如图1所示的单连杆机械臂系统进行分析，在不考虑机械臂系统本身形变的影响下，建立系统的动态描述方程：
[0048]
[0049] 其中，q1、q2分别表示t时刻连杆位移、电机转子位移，·、··分别表示一次求导与两次求导，Jl、Jm分别表示连杆惯性、电机转子惯性，k0代表弹性常数，g代表重力常数，m代表连接质量，l0代表质心，Fl、Fm分别表示连杆、电子转子的粘性摩擦系数，控制u代表马达传递的* *扭矩，u 代表由于传感器或者其他因素所造成的未知有界干扰，u ≤c，c是一个未知的正常数。
[0050] 设置控制目标为：在只有连杆位移q1可测的情况下，使q1跟踪参照信号yr，且最大允许误差为λ，参照信号yr满足 定义状态η1＝q1，η2＝q2， 和将系统的动态模型转换为空间状态表达：
[0051]
[0052] 其中， 是一个已知的常数，y是系统的输出信号。
[0053] 为了消去输入u前面的系数，定义x5＝u*， 和 i＝2,3,4，将系统的空间状态表达转换为下三角结构的形式：
[0054]
[0055] 步骤2、设计高增益观测器。
[0056] 由步骤1建立的系统空间状态模型可知，系统的状态大都不可测，因此无法用状态反馈控制方法来对系统进行控制，针对这种情况可以采用如图2所示的带有状态观测器的输出反馈控制方法，为了实现准确的控制，需要状态的确切信息，因此需要设计观测器对原系统状态进行估计，为了保证观测器能准确估计原系统的状态，首先要求观测器在形式上和原系统是一致的，又因为在单连杆机械臂系统只有连杆位移q1是可测的，因此模型中只有y是已知的。利用系统输入输出信息来设计观测器重构系统状态以及未知的扰动，同时构造合适的自适应增益L，用于补偿系统不确定信息以及扰动带来的影响，得到高增益观测器：
[0057]
[0058] 其中 是公式(3)中状态x＝[x1,x2,x3,x4,x5]T的估计值，a1、a2、5 4 3 2
a3、a4、a5均大于0，是赫尔维茨多项式p(s)＝s+a1s+a2s+a3s+a4s+a5的系数， τ是任意的正常数。L是自适应增益表达式中第一项保证系统的输出最终保持在[‑λ,λ]范围内，第二项保证此增益是有界的，第三项保证增益单调递增，初值使得增益始终大于1。
[0059] 步骤3、设计基于事件触发的输出反馈控制器。
[0060] 将步骤1建立的空间状态模型与步骤2建立的观测器视为一个新的系统，新系统的输出为观测器估计的状态，基于经典控制方法得到控制器：
[0061]
[0062] 其中u是控制信号，K是一系列设计参数，是观测器的输出状态。
[0063] 公式(5)展示的控制器并不能处理非线性系统，因此引入动态增益，并补偿系统中的扰动项，得到新的控制器：
[0064]
[0065] 其中k1、k2、k3、k4均大于0，是赫尔维茨多项式p(s)＝s4+k1s3+k2s2+k3s+k4的系数。
[0066] 如图3所示，为了减少不必要的信息传输，引入一种机制来决定是否传输“控制信息”，且保证该传输的信息确实可以保证系统的稳定运行，从而减少传输信息的量，减少马达的磨损，设计事件触发决策机制：
[0067]
[0068] 其中tk代表上一控制转换时刻，tk+1代表即将要控制转换的时刻，γ＞0是可设计的参数代表控制器触发阈值，当 满足事件触发决策才传输控制信号，否则一直沿用tk时刻的控制信号。
[0069] 得到基于事件触发的控制器：
[0070]
[0071] 步骤5、确定控制器参数。
[0072] 选择两组合适的赫尔维茨多项式系数，a1＝2，a2＝10，a3＝6，a4＝10.2，a5＝1以及k1＝5，k2＝5，k3＝6，k4＝5。设置最大允许跟踪误差λ＝0.2、参照信号yr＝sint、控制器触发阈值γ＝5以及增益参数τ＝0.2，得到的观测器如下：
[0073]
[0074] 基于事件触发的控制器如下：
[0075]
[0076] 将其用于如表1所示参数的单连杆机械臂系统中，进行仿真实验。
[0077]
[0078] 表1
[0079] 利用表1中的参数值，可以得到原机械臂非线性系统的较确切的表达式，同时假设该系统的系统初始条件
[0080] 图4代表系统输出的状态轨迹图，可以看到系统的输出最总保持在[‑0.2,0.2]范围内实现了系统的实际跟踪，图5代表原系统状态η1和η2的状态轨迹图，图6是原系统状态η3和η4的状态轨迹图，图7是观测器估计状态 和 的状态轨迹图，图8是观测器估计状态 和的状态轨迹图，从图上可以看出系统在设计的控制器下的状态轨迹是有界的，图9代表动态增益L的状态轨迹，图10代表控制器u的轨迹。
[0081] 以下内容从理论角度，证明本方法得到的基于事件触发的控制器的有效性：
[0082] 定义矩阵A，K，D1和D2如下：
[0083]
[0084] 因为A和K是赫尔维茨矩阵，所以存在正定矩阵Q＝QT和P＝PT满足：
[0085]
[0086] 其中I代表适当维数的单位矩阵。
[0087] 首先选择如下的动态变换：
[0088]
[0089] 可以将系统空间状态模型(3)和高增益观测器(4)转换为如下的形式：
[0090]
[0091] 其中：
[0092]
[0093] 采用李亚普诺夫函数证明控制器可以实现系统的稳定运行以及实际跟踪。首先为机械臂系统构造一个李亚普诺夫函数
[0094] V＝Vz+μVε＝zTPz+μεTQε (14)
[0095] 其中 基于上述变换对该李亚普诺夫函数求导可以得到：
[0096]
[0097] 进而可以得到：
[0098]
[0099] 其中 和△＝2γ2||PC2
‖以及θ是未知的常数。
[0100] 证明(1)、证明L是有界的：
[0101] 根据解的存在唯一性定理和延拓定理，可以知道对于任意的初始条件闭环系统存在唯一的解在最大存在区间[0,Tm)上。采用反证法，首先假设L是无界的，即 那么一定存在一个时间T1，使得当t∈[T1,Tm)， 成立，从而有
[0102]
[0103] 其中γ1是满足γ1V≤‖ε‖2+||z||2≤γ2V的常数。这意味着存在一个时间t2∈[t1,Tm)，使得当t2≤t≤tm有
[0104]
[0105] 进而可以得到
[0106]
[0107] 定义Λ＝LV，求导可得
[0108]
[0109] 这就意味着Λ是有界的，同时也意味着V是有界的且 因此：
[0110]
[0111] 而公式(19)和 矛盾，因此假设L无界不成立，即L是有界的。
[0112] 证明(2)、证明状态z是有界的。
[0113] 从证明(1)可知L是有界的，设置：
[0114]
[0115] 注意到Lyapunov函数Vz＝zTPz，对其求导可得：
[0116]
[0117] 其中 λmax(P)代表矩阵P的最大特征值。
[0118] 注意到 进而可以得到
[0119]
[0120] 由公式(24)可以知道状态z是有界的。
[0121] 证明(3)、证明状态ε是有界的。
[0122] 重新选择坐标变换得到：
[0123]
[0124] 其中 通过系统状态模型(3)、观测器(4)以及(25)可以将系统重写为：
[0125]
[0126] 其中A在上述已经定义，而
[0127]
[0128] 构造一个正定的Lyapunov函数Vη＝ηTQη，对其求导可得：
[0129]
[0130] 其中 λmax(Q)代表矩阵Q的最大特征值。注意到
[0131]
[0132] 因此对t∈[0,Tm)积分可以得到
[0133]
[0134] 由公式(29)可以知道状态η有界的，通过(12)和(25)，可以知道状态ε也是有界的。
[0135] (4)证明Tm＝+∞、没有Zeno现象发生。
[0136] 所述Zeno现象为在有限时间内控制无限次触发。
[0137] 首先假设Tm<+∞，可以得到：
[0138]
[0139] 由基于事件触发的控制器可知，存在一个正实数M使得下式成立
[0140]
[0141] 进一步可以得到：
[0142]
[0143] 进而可以得到：
[0144]
[0145] 因此 这也就意味着假设Tm<+∞是错误的，因此Tm＝+∞以及Zeno现象不会发生。
[0146] (5)通过上述4个证明可以知道闭环系统的所有状态都是有界的，这也就意味着L(t)在[0,+∞)上是有界的以及 进一步通过 引理，可以得到：
[0147]
[0148] 从动态增益更新率中可以得知存在一个时间Tλ，当t＞Tλ时
[0149]
[0150] 这也就意味着|y(t)|＝|η1(t)‑yr(t)|≤λ,
[0151] 综上所述，设计的利用自适应技术基于事件触发的控制器方案最终可以实现机械臂系统的跟踪运行。
