[0054] 图1为时延补偿观测器。
[0055] 具体实施方法
[0056] 本发明的详细实施方法如下：
[0057] 1.建立城市排水管道的状态空间建模。
[0058] 1)基于管道、节点、蓄水池和泵站等拓扑结构和几何数据信息，利用质量、能量和动量方程等水力学原理，建立描述排水管道水流状态(包括水位、水压和流速)的圣维南(Saint-Venant)方程。
[0059] 2)根据实际排水管道特性，利用时延数据获得从泵站和蓄水池阀门开启到排水管道水流状态变化之间的控制输入时延d。然后，结合实际的排水管道的入口、出口和结构等边界条件，利用泰勒级数展开方法将前面的圣维南方程进行线性化，得到排水管道水流状态的线性化动态方程，其状态空间模型如下
[0060]
[0061] y(t)＝Cx(t)
[0062] 其中x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T为t时刻排水管道内的水流状态向量，x1(t)为t时刻的水位高度值，x2(t)为t时刻的水压值，x3(t)为t时刻水流速度值，当x(t)的值大于预设的允许值xallow时表示排水管发生了溢出，对不同的排水管网有不同的允许值xallow；u(t)表示t时刻的控制输入量，为t时刻排水管道上游进入管道的水流量uin与排水管道下游流出管道的水流量uout之间的差值；正标量d为控制输入时延，表示上游实际排水管道中由泵站和蓄水池等阀门开启到下游排水管道水流状态变化之间的控制输入时延；向量函数ν(t)∈3×1 n×m
R ,t∈[-d,0]的值已知，表示系统的初始条件，其中R 表示n×m维的实数空间，m,n为自然数；y(t)∈Rp×1为p维的排水管道系统测量输出量，其中p为实际排水管网系统实际测量输出的维数，对于不同的排水管道，其测量输出y(t)的维数p不一样，例如：只能对水位高度、水压和水流速度中一个变量进行测量的排水系统p＝1，对于水位高度、水压和水流速度中两个变量可测量的排水系统p＝2，若水位高度、水压和水流速度均可测量的排水系统p＝3；
A∈R3×3、B∈R3×1和C∈Rp×3为已知定常矩阵。
[0063] 3)基于模型降阶和近似方法，利用实测数据和计算机仿真技术对第2)步得到的系统状态空间模型进行校验，并对其矩阵参数A、B和C及控制输入时延d进行修正，建立实际排水管网系统水流状态的动态方程。
[0064] 2.基于时延补偿观测器的反馈控制结构。
[0065] 第一步：引入时延补偿PI观测器
[0066] 根据实际排水管道控制输入中存在的时延d>0，引入如图1所示的时延补偿观测器。而且为了更加充分利用观测器的信息，减小观测器的估计误差，引入了比例积分(PI)类型的观测器。与单纯的比例观测器(L2＝0，即没有通道L2)，比例积分(PI)观测器不但可以降低观测器误差，还可以多引入一个设计参数L2，增加了设计自由度。
[0067] 在进行反馈控制器设计时，图1中的参考输入为零，即r(t)＝0，因而观测器动态方程为
[0068]
[0069] 其中 为观测器的状态向量，表示向量x(t)的估计值；由图1可知，向量γ(t)满足 其中L1∈R3×p、L2∈R3×p为待求的观测器增益矩阵，向量α(t)和β(t)满足关系：
[0070]
[0071] 因此，可建立观测器的动态方程
[0072]
[0073] 定义观测器误差 则可得观测器误差的动态方程：
[0074]
[0075] 定义向量 则有
[0076]
[0077] 即观测器误差的动态方程可表示为
[0078]
[0079] 第二步：基于时延补偿PI观测器的反馈控制
[0080] 由于实际排水管道中水流状态x(t)难以准确测量，因而无法设计状态反馈控制器。本发明中基于观测器重构原系统的状态，利用水流状态向量的估计值 即水流状态向量x(t)的重构值，替换原系统的状态向量，可构成图1所示的反馈控制结构，即反馈控制律为 其中K∈R1×3为待求的控制器增益矩阵。
[0081] 选择增广向量ξ(t)＝[x(t)e(t)Φ(t)]T，则得增广系统的动态方程
[0082]
[0083] 其中I表示维数适当的单位矩阵。
[0084] 引入矩阵
[0085]
[0086] 则增广系统的动态方程可表示为
[0087]
[0088] 由此，将具有控制输入延时的原系统方程转化为上述具有状态时延的增广系统方程。下面将通过积分变换、极点配置和泛函微分方程理论等方法对控制器和观测器进行设计。
[0089] 3.控制器与观测器求解
[0090] 对时延微分方程 进行拉普拉斯变换，可得增广系统对应的特征方程
[0091]
[0092] 即
[0093]
[0094] 式中s为拉普拉斯算子。
[0095] 上式对应的特征多项式就是Γ(s)的行列式，
[0096] det(Γ(s))＝det{sI-(A+BK)}·det{sI-A+(L1+L2)Ce-sd}
[0097] 求解特征方程det(Γ(s))＝0，可得待求矩阵K、L1、L2的相应值。
[0098] 由于观测器和控制器设计遵循控制理论中著名的“分离原理”，即控制器增益矩阵K和观测器增益矩阵L1、L2可以分别设计，下面将利用分离原理进行分别求解。
[0099] 第一步：求解控制器增益矩阵K。
[0100] 令det{sI-(A+BK)}＝0，即为控制器设计的特征方程。
[0101] 由于特征方程det{sI-(A+BK)}＝0中只有一个未知矩阵K，所以可以利用现代控制理论中的极点配置方法求解控制增益矩阵K：1)设闭环反馈控制系统的极点为λ1＝-a0,λ2,3＝-a±bj，其中a0＞0，a＞0，b＞0为给定的实数，即三个极点均配置在复平面的左半平面，保证闭环反馈控制系统的稳定。2)利用前一步给定的λ1,λ2,λ3的值，求得对应的特征多项式f1(s)＝(s-λ1)(s-λ2)(s-λ3)。3)设待求的控制器增益矩阵为K＝[k1,k2,k3]，其中k1、k2、k3为实数，代入det{sI-(A+BK)}可得特征多项式f2(s,k1,k2,k3)＝det{sI-(A+B[k1,k2,k3])}。4)令f1(s)和f2(s,k1,k2,k3)对应多项式的系数相等，即可求得K＝[k1,k2,k3]的具体值。若系统矩阵A不是可控标准型形式，还需利用现代控制理论中的矩阵相似变换方法，将其变换为可控标准型。
[0102] 第二步：求解观测器增益矩阵L1和L2。
[0103] 与第一步中控制器增益求解方法类似，令det{sI-A+LCe-sd}＝0，L＝L1+L2，可得比例积分(PI)观测器增益矩阵满足的特征方程。由于该特征方程中包含系数e-sd，这是一个超越方程，具有无穷维性质，其解析求解很困难，不能直接利用第一步的极点配置方法获得L1和L2的值。
[0104] 本发明利用泛函微分方程理论中的兰伯特W函数(Lambert W function)方法,矩阵L＝L1+L2的值可以按下述步骤进行求解。
[0105] 定义Wk(Hk)为矩阵兰伯特W函数的第k个分支，其中Hk＝LCdQk，k＝-∞，…，-1，0，1，…∞，且Wk(Hk)满足 其中未知矩阵Qk和Sk满足
[0106]
[0107]
[0108] 对于实际城市排水系统，根据已知的A、B、C和d的值，可按下述步骤顺序进行求解：1)令k＝0，可以设定S0的3个特征值λS01,λS02,λS03，并确定与这3个特征值对应的一个矩阵S0的可行值。2)根据已知的矩阵A和时延d的值，利用前一步求得的S0值和上述第一个方程(k＝0)，即W0(LCdQ0)＝dS0-dA，可求得矩阵函数W0(LCdQ0)的一个可行解。3)将W0(LCdQ0)的值代入上述第二式(k＝0), 可计算出矩阵LC的一个可行解。4)
再根据已 知矩阵C的 值 ，利用迭代数 值求解方法 ，求得满 足等式 约束
的一个可行矩阵解L0。若无法求得可行的矩阵解L0，则需返回
第1)步，再次设置S0的3个不同的特征值λS01,λS02,λS03，并重复上述求解过程，直到获得矩阵L的一个可行解L0。5)将求得的矩阵L0分解为两个可行的观测器增益矩阵L1和L2满足L0＝L1+L2，并使矩阵A-L1C和A-L2C均具有负实部。
